Понятие правильного многогранника

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб. Все его грани - равные квадраты, и к каждой вершине сходятся три ребра.
Очевидно, все ребра правильного многогранника равны друг другу. Можно доказать, что равны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.
Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще п-угольники при n > 6. В самом деле, угол правильного n-угольника при n > 6 не меньше 120°. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n-угольники при n > 6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120°*3 = 360°. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.
По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.
В соответствии с этим получаем следующие травильные многогранники:
Правильный тетраэдр: (рис. 88) составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. следовательно, сумма плоских углов при каждой вер- шине равна 180°.
Правильный октаэдр: (рис. 89) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.
Правильный икосаэдр:(рис. 90) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.
Куб :(рис. 91) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.
Правильный додекаэдр :(рис. 92) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.